Question

20．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的表面积为（　　）

• A． $\frac{{15+\sqrt{17}}}{2}$
• B． $\frac{{13+\sqrt{17}}}{2}$
• C． $\frac{{11+\sqrt{17}}}{2}$
• D． $\frac{{9+\sqrt{17}}}{2}$

Answer 1

分析 以正方体为载体作出三棱锥的直观图，求出棱锥的各棱长，利用余弦定理求出各面面积．

解答 解：设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁棱长为2，M，N分别是A₁B₁，A₁D₁的中点，
则三棱锥C-AMN为所求几何体．
由图可知AM=AN=$\sqrt{5}$，MN=$\sqrt{2}$，AC=2$\sqrt{2}$，CM=CN=3，
由余弦定理得cos∠MAN=$\frac{5+5-2}{2•\sqrt{5}•\sqrt{5}}$=$\frac{4}{5}$，∴sin∠MAN=$\frac{3}{5}$，
∴S_△MAN=$\frac{1}{2}×\sqrt{5}×\sqrt{5}×\frac{3}{5}$=$\frac{3}{2}$，
同理可得S_△MCN=$\frac{\sqrt{17}}{2}$，S_MAC=S_△NAC=3，
∴棱锥的表面积S=$\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{17}}{2}+3×2$=$\frac{15+\sqrt{17}}{2}$．
故选：A．

点评 本题考查了棱锥的结构特征和三视图，作出棱锥的直观图是解题关键，属于中档题．