Question

12．四棱锥P-ABCD中，PD⊥面ABCD，底面ABCD是菱形，且PD=DA=2，∠CDA=60°，过点B作直线l∥PD，Q为直线l上一动点．
（1）求证：QP⊥AC；
（2）当面PAC⊥面QAC时，求三棱锥Q-ACP的体积．

Answer 1

分析 （1）推导出直线QP在面ABCD上的射影为DB，DB⊥AC，由三垂线定理证明QP⊥AC．
（2）设AC和BD的交点为O，连接OP、OQ，三棱锥Q-ACP的体积V_Q-ACP=V_A-POQ+V_C-POQ，由此能求出结果．

解答 证明：（1）由题意知直线QP在面ABCD上的射影为DB，
又菱形ABCD中DB⊥AC，
由三垂线定理知QP⊥AC．
解：（2）△PAC和△QAC都是以AC为底的等腰三角形，
设AC和BD的交点为O，
连接OP、OQ，则OP⊥AC，OQ⊥AC，∴AC⊥面POQ．
面PAC⊥面QAC知：OP⊥OQ．
在Rt△POD中，$OP=\sqrt{7}$，设QB=x，则Rt△OBQ中，$OQ=\sqrt{{x^2}+3}$，
在直角梯形PDBQ中，$PQ=\sqrt{{{（2-x）}^2}+{{（2\sqrt{3}）}^2}}=\sqrt{{x^2}-4x+16}$，
在△POQ中，$PQ=\sqrt{O{P^2}+O{Q^2}}=\sqrt{{x^2}+10}$，
故$\sqrt{{x^2}-4x+16}=\sqrt{{x^2}+10}$，
解得$x=\frac{3}{2}$，即$QB=\frac{3}{2}$．
同时$OQ=\frac{{\sqrt{21}}}{2}$，${S_{△POQ}}=\frac{1}{2}×\sqrt{7}×\frac{{\sqrt{21}}}{2}=\frac{{7\sqrt{3}}}{4}$，
∴三棱锥Q-ACP的体积${V_{Q-ACP}}={V_{A-POQ}}+{V_{C-POQ}}=\frac{1}{3}{S_{△POQ}}•AC=\frac{{7\sqrt{3}}}{6}$．

点评 本题考查线线垂直的证明，考查几何体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．