Question

12．定义区间（a，b）、[a，b）、（a，b]、[a，b]的长度均为d=b-a，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如，（1，2）∪[3，5）的长度为d=（2-1）+（5-3）=3，用[x]表示不超过的x最大整数，记{x}=x-[x]，其中x∈R．设f（x）=[x]•{x}，g（x）=2x-[x]-2，若用d₁，d₂，d₃分别表示不等式f（x）＞g（x）、方程f（x）=g（x）、不等式f（x）＜g（x）解集的长度，则当0≤x≤2016时，有（　　）

• A． d₁=2，d₂=0，d₃=2014
• B． d₁=2，d₂=2，d₃=2014
• C． d₁=2，d₂=1，d₃=2013
• D． d₁=2，d₂=2，d₃=2012

Answer 1

分析 先化简f（x）=[x]•{x}=[x]•（x-[x]）=[x]x-[x]²，再化简f（x）＞g（x），再分类讨论：①当x∈[0，1）时，②当x∈[1，2）时③当x∈[2，2016]时，从而得出f（x）＞g（x）在0≤x≤2016时的解集的长度；对于f（x）=g（x）和f（x）＜g（x）进行类似的讨论即可．

解答 解：f（x）=[x]•{x}=[x]•（x-[x]）=[x]x-[x]²，g（x）=x-1
f（x）＞g（x）⇒[x]x-[x]²＞x-1即（[x]-1）x＞[x]²-1
当x∈[0，1）时，[x]=0，上式可化为x＜1，∴x∈[0，1）；
当x∈[1，2）时，[x]=1，上式可化为0＜0，∴x∈∅；
当x∈[2，2016]时，[x]-1＞0，上式可化为x＞[x]+1，∴x∈∅；
∴f（x）＞g（x）在0≤x≤2016时的解集为[0，1），故d₁=1
f（x）=g（x）⇒[x]x-[x]²=x-1即（[x]-1）x=[x]²-1
当x∈[0，1）时，[x]=0，上式可化为x=1，∴x∈∅；
当x∈[1，2）时，[x]=1，上式可化为0=0，∴x∈[1，2）；
当x∈[2，2016]时，[x]-1＞0，上式可化为x=[x]+1，∴x∈∅；
∴f（x）=g（x）在0≤x≤2016时的解集为[1，2），故d₂=1
f（x）＜g（x）⇒[x]x-[x]²＜x-1即（[x]-1）x＜[x]²-1
当x∈[0，1）时，[x]=0，上式可化为x＞1，∴x∈∅；
当x∈[1，2）时，[x]=1，上式可化为0＞0，∴x∈∅；
当x∈[2，2016]时，[x]-1＞0，上式可化为x＜[x]+1，∴x∈[2，2016]；
∴f（x）＜g（x）在0≤x≤2016时的解集为[2，2016]，故d₃=2013
故选C

点评 本题主要考查了抽象函数及其应用，同时考查了创新能力，以及分类讨论的思想和转化思想，属于中档题．