Question

2．已知O为坐标原点，抛物线C：y²=nx（n＞0）在第一象限内的点P（2，t）到焦点的距离为$\frac{5}{2}$，曲线C在点P处的切线交x轴于点Q，直线l₁经过点Q且垂直于x轴．
（Ⅰ）求线段OQ的长；
（Ⅱ）设不经过点P和Q的动直线l₂：x=my+b交曲线C于点A和B，交l₁于点E，若直线PA，PE，PB的斜率依次成等差数列，试问：l₂是否过定点？请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出抛物线方程，曲线C在点P处的切线方程，得出Q的坐标，即可求线段OQ的长；
（Ⅱ）求出直线PA的斜率为$\frac{{{y_1}-2}}{{{x_1}-2}}=\frac{{{y_1}-2}}{{\frac{{{y_1}^2}}{2}-2}}=\frac{2}{{{y_1}+2}}$，直线PB的斜率为$\frac{2}{{{y_2}+2}}$，直线PE的斜率为$\frac{{2+\frac{b+2}{m}}}{4}$，因为直线PA，PE，PB的斜率依次成等差数列，得出2m-b+2=2m，即b=2，即可得出结论．

解答 解：（Ⅰ）由抛物线C：y²=nx（n＞0）在第一象限内的点P（2，t）到焦点的距离为$\frac{5}{2}$得$2+\frac{n}{4}=\frac{5}{2}$，所以n=2，故抛物线方程为y²=2x，P（2，2）…．…（2分）
所以曲线C在第一象限的图象对应的函数解析式为$y=\sqrt{2x}$，则${y^'}=\frac{1}{{\sqrt{2x}}}$..…（4分）
故曲线C在点P处的切线斜率$k=\frac{1}{{\sqrt{2×2}}}=\frac{1}{2}$，切线方程为：$y-2=\frac{1}{2}（x-2）$
令y=0得x=-2，所以点Q（-2，0）…（5分）
故线段OQ=2…（6分）
（Ⅱ）由题意知l₁：x=-2，因为l₂与l₁相交，所以m≠0
设l₂：x=my+b，令x=-2，得$y=-\frac{b+2}{m}$，故$E（-2，-\frac{b+2}{m}）$…．…（7分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}x=my+b\\{y^2}=2x\end{array}\right.$消去x得：y²-2my-2b=0
则y₁+y₂=2m，y₁y₂=-2b…..…（9分）
直线PA的斜率为$\frac{{{y_1}-2}}{{{x_1}-2}}=\frac{{{y_1}-2}}{{\frac{{{y_1}^2}}{2}-2}}=\frac{2}{{{y_1}+2}}$，
同理直线PB的斜率为$\frac{2}{{{y_2}+2}}$，直线PE的斜率为$\frac{{2+\frac{b+2}{m}}}{4}$…．…（10分）
因为直线PA，PE，PB的斜率依次成等差数列
所以$\frac{2}{{{y_1}+2}}$+$\frac{2}{{{y_2}+2}}$=2$\frac{{2+\frac{b+2}{m}}}{4}$
即$\frac{b+2}{2m-b+2}=\frac{b+2}{2m}$…..…（11分）
因为l₂不经过点Q，所以b≠-2
所以2m-b+2=2m，即b=2
故l₂：x=my+2，即l₂恒过定点（2，0）…（12分）

点评 本题考查抛物线的方程与性质，考查直线与抛物线位置关系的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．