Question

12．设A、B是球O的球面上两点，且∠AOB=90°，若点C为该球面上的动点，三棱锥O-ABC的体积的最大值为$\frac{9\sqrt{π}}{2{π}^{2}}$立方米，则球O的表面积是36平方米．

Answer 1

分析 当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O-ABC的体积最大，由此求出球O的半径，进而能求出球O的表面积．

解答 解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，
三棱锥O-ABC的体积最大，
设球O的半径为R，此时${V}_{O-ABC}={V}_{C-AOB}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×{R}^{2}×R$=$\frac{9\sqrt{π}}{2{π}^{2}}$，
解得R=$\frac{3}{\sqrt{π}}$，
∴球O的表面积为S=4πR²=4π×$\frac{9}{π}$=36．
故答案为：36．

点评 本题考查球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意球、三棱锥的性质及构造法的合理应用．