Question

函数y=log₂x+log₂（4-x）的值域为

 

．

Answer 1

考点：对数函数的值域与最值,对数的运算性质

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：由对数的真数大于0可得函数的定义域，将函数解析式化成log₂[x（4-x）]后，考虑x（1-x）这个二次函数的值域，即可得出结论．

解答： 解：∵函数f（x）=log₂x+log₂（4-x）中，x＞0且4-x＞0，
故f（x）的定义域是（0，4）；
∵函数f（x）=log₂x+log₂（4-x）=log₂[x（4-x）]
∵0＜x＜4，
∴0＜x（4-x）≤[

x+(4-x)

2

]2=4
∴log₂[x（4-x）]≤2，
∴函数y=log₂x+log₂（4-x）的值域为（-∞，2]．
故答案为：（-∞，2]

点评：解决对数函数中的最值问题，一是利用对数函数的性质；二是转化为二次函数型，必须充分挖掘问题中的隐含条件进行合理地转化．