Question

已知函数f(x)=2

x+2

-x，g（x）=x²-2mx+5m-2（m∈R），对于任意的x₁∈[-2，2]，总存在x₂∈[-2，2]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，则实数m的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数的值域

专题：综合题

分析：先求出函数f（x）的值域A，设函数g（x）的值域为B，讨论m的取值，求出g（x）的值域，根据题意，有A⊆B，由数集的概念，求出m的取值范围．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=2

x+2

-x=2

x+2

-（x+2）+2=3-(

x+2

-1)2，
∴当x∈[-2，2]时，2≤f（x）≤3，
∴f（x）的值域是[2，3]；
（2）又当x∈[-2，2]时，
①若m＜-2，则g（x）=x²-2mx+5m-2在[-2，2]上是增函数，最小值g（-2）=9m+2，最大值g（2）=3m+2；
∴g（x）的值域是[9m+2，3m+2]，
∴[2，3]⊆[9m+2，3m+2]，
即

9m+2≤2 3m+2≥3

，∴无解；
②若m＞2，则g（x）=x²-2mx+5m-2在[-2，2]上是减函数，最小值g（2）=3m+2，最大值g（-2）=9m+2；
∴g（x）的值域是[3m+2，9m+2]，
∴[2，3]⊆[3m+2，9m+2]，
即

3m+2≤2 9m+2≥3

，∴无解；
③若-2≤m≤2，则g（x）=x²-2mx+5m-2在[-2，2]上是先减后增的函数，
最小值是g（m）=-m²+5m-2，最大值是max{g（-2），g（2）}=max{9m+2，3m+2}；
∴当m≥0时，g（x）的值域是[-m²+5m-2，9m+2]，
∴[2，3]⊆[-m²+5m-2，9m+2]，
即

-m2+5m-2≤2 9m+2≥3

，
解得

1

9

≤m≤1，或m≥4（不符合条件，舍去）；
∴取

1

9

≤m≤1；
当m＜0时，g（x）的值域是[-m²+5m-2，3m+2]，
∴[2，3]⊆[-m²+5m-2，3m+2]，
即

-m2+5m-2≤2 3m+2≥3

；
解得

1

3

≤m≤1，或m≥，不符合条件，舍去；
综上，实数m的取值范围是：[

1

9

，1]．
故答案为：[

1

9

，1]．

点评：本题考查了函数恒成立问题、不等式的解法等基础知识，考查了运算求解的能力以及化归与转化思想，是综合性题目．