Question

【题目】在实数集R上定义一种运算“*”，对于任意给定的a、b∈R，a*b为唯一确定的实数，且具有性质：
1）对任意a、b∈R，a*b=b*a；
2）对任意a、b∈R，a*0=a；
3）对任意a、b∈R，（a*b）*c=c*（ab）+（a*c）+（c*b）﹣2c．
关于函数f（x）=x* 的性质，有如下说法：
①在（0，+∞）上函数f（x）的最小值为3；
②函数f（x）为奇函数；
③函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1），（1，+∞）．
其中所有正确说法的个数为（ ）
A.0
B.1
C.2
D.3

Answer 1

【答案】C
【解析】解：①由新运算“*”的定义③令c=0，
则（a*b）*0=0*（ab）+（a*0）+（0*b）=ab+a+b，
即a*b=ab+a+b
∴f（x）=x* =1+x+ ，当x＞0时，f（x）=x* =1+x+ ≥1+2 =1+2=3，
当且仅当x= ，即x=1时取等号，∴在（0，+∞）上函数f（x）的最小值为3；故①正确，
②函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），
∵f（1）=1+1+1=3，f（﹣1）=1﹣1﹣1=﹣1，
∴f（﹣1）≠﹣f（1）且f（﹣1）≠f（1），则函数f（x）为非奇非偶函数，故②错误，
③函数的f′（x）=1﹣ ，令f′（x）=0
则x=±1，
∵当x∈（﹣∞，﹣1）或（1，+∞）时，f′（x）＞0
∴函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1）、（1，+∞）．故③正确；
故正确的是①③，
故选：C