Question

17．若{a_n}为等差数列，S_n是其前n项的和，且${S_{11}}=\frac{22}{3}π，\{{b_n}\}$为等比数列，且b_n＞0，${b_5}•{b_7}=\frac{π^2}{4}$，则tan（a₆+b₆）的值为（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． $±\sqrt{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• D． ±$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 由等差数列的前n项和求得a₆，由已知结合等比数列的性质求得b₆，代入tan（a₆+b₆），化切为弦得答案．

解答 解：∵{a_n}为等差数列，
∴${S}_{11}=\frac{11（{a}_{1}+{a}_{11}）}{2}=\frac{11×2{a}_{6}}{2}=11{a}_{6}=\frac{22π}{3}$，
得${a}_{6}=\frac{2π}{3}$，
由${b}_{5}•{b}_{7}={{b}_{6}}^{2}=\frac{{π}^{2}}{4}$，得${b}_{6}=\frac{π}{2}$．
故tan（a₆+b₆）=$tan（\frac{2π}{3}+\frac{π}{2}）=\frac{sin（\frac{2π}{3}+\frac{π}{2}）}{cos（\frac{2π}{3}+\frac{π}{2}）}=\frac{cos\frac{2π}{3}}{-sin\frac{2π}{3}}$=$\frac{-\frac{1}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故选：C．

点评 本题考查等比数列的性质，考查了等差数列的前n项和，训练了三角函数值的求法，是中档题．