Question

6．已知函数 f（x）=sinx-xcosx．现有下列结论：
①f（x）是R 上的奇函数；
②f（x）在[π，2π]上是增函数；
③?x∈[0，π]，f（x）≥0．
其中正确结论的个数为（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 利用三角函数的奇偶性判断①正确；利用导数研究函数的单调性，可得f（x）在[π，2π]上是减函数，故②错误；利用导数求得f（x）在[0，π]上是增函数，f（x）≥f（0），从而得出结论．

解答 解：根据 f（x）=sinx-xcosx，可得f（-x）=-sinx+xcosx=-f（x），
故函数f（x）为奇函数，故①：f（x）是R 上的奇函数，正确．
f（x）在[π，2π]上，f′（x）=cosx-cosx+xsinx=xsinx＜0，
故函数f（x）是减函数，故②不正确．
③?x∈[0，π]，f′（x）=xsinx＞0，故f（x）是增函数，
故f（x）的最小值为f（0）=0，∴f（x）≥0，故③正确，
故选：C．

点评 本题主要考查三角函数的奇偶性和单调性，利用导数研究函数的单调性，属于基础题．