Question

1．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足$\frac{\sqrt{2}a-b}{c}$=$\frac{cosB}{cosC}$．
（1）求角C的大小；
（2）设函数f（x）=cos（2x+C），将f（x）的图象向右平移$\frac{π}{4}$个单位长度后得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间[0，$\frac{π}{3}$]上的值域．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理和和差角的三角函数可得cosC，可得C值；
（2）由函数图象变换可得g（x）=cos（2x-$\frac{π}{4}$），由x∈[0，$\frac{π}{3}$]和三角函数的值域可得．

解答 解：（1）∵$\frac{\sqrt{2}a-b}{c}$=$\frac{cosB}{cosC}$，∴由正弦定理可得$\frac{\sqrt{2}sinA-sinB}{sinC}$=$\frac{cosB}{cosC}$，
∴$\sqrt{2}$sinAcosC-sinBcosC=cosBsinC，即$\sqrt{2}$sinAcosC=sinBcosC+cosBsinC
∴$\sqrt{2}$sinAcosC=sin（B+C）=sinA，sinA≠0，
同除以sinA变形可得cosC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵C为三角形内角，∴C=$\frac{π}{4}$；
（2）由（1）和题意可得f（x）=cos（2x+$\frac{π}{4}$），
将f（x）的图象向右平移$\frac{π}{4}$个单位长度后得到函数g（x）的图象，
∴g（x）=cos[2（x-$\frac{π}{4}$）+$\frac{π}{4}$）]=cos（2x-$\frac{π}{4}$），
∵x∈[0，$\frac{π}{3}$]，∴2x-$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{12}$]，
∴当2x-$\frac{π}{4}$=$\frac{5π}{12}$即x=$\frac{π}{3}$时，函数取最小值cos$\frac{5π}{12}$=cos（$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{6}$）
=$\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$；
当2x-$\frac{π}{4}$=0即x=$\frac{π}{8}$时，函数取最大值1，
故所求值域为：[$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$，1]

点评 本题考查三角函数图象变换，涉及设三角函数的最值和正弦定理，属中档题．