Question

6．已知极点与原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，若曲线C₁的极坐标方程为：ρ=2sinθ，曲线C₂的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=\frac{2\sqrt{3}}{3}sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），曲线C₁与C₂交于M，N两点，求M，N两点间的距离．

Answer 1

分析 求出曲线C₁的直角坐标方程和曲线C₂的普通方程，联立方程组，求出M，N点的坐标，由此能求出|MN|的长．

解答 解：∵曲线C₁的极坐标方程为：ρ=2sinθ，
∴ρ²=2ρsinθ，
∴曲线C₁的直角坐标方程为：x²+y²-2y=0，
∵曲线C₂的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=\frac{2\sqrt{3}}{3}sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），
∴曲线C₂的普通方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{3{y}^{2}}{4}$=1，
联立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}-2y=0}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{3{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，得y²+y-2=0，
解得y=1或y=-2，∴M（-1，1），N（1，1），
∴|MN|=$\sqrt{（1+1）^{2}+（1-1）^{2}}$=$\sqrt{2}$．

点评 本题考查两点间距离的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意极坐标方程和直角坐标方程互化公式的合理运用．