Question

3．设向量$\overrightarrow{m}$=（sinωx，cosωx），$\overrightarrow{n}$=（cosφ，sinφ），（x∈R，|φ|＜$\frac{π}{2}$，ω＞0），函数f（x）=$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$的图象在y轴右侧的第一个最高点（即函数取得最大值的一个点）为P（$\frac{π}{6}，1$），在原点右侧与x轴的第一个交点为Q（$\frac{5π}{12}，0$）
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）在△ABC中，角A，B，C的对应边分别是a，b，c若f（C）=-1，$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}=-\frac{3}{2}$，且a+b=2$\sqrt{3}$，求边长c．

Answer 1

分析 （1）利用平面向量数量积的运算，两角和的正弦函数公式化简可得f（x）=sin（ωx+φ），利用周期公式可求ω，将点P（$\frac{π}{6}，1$）代入y=sin（2x+φ），结合范围|φ|＜$\frac{π}{2}$，可求φ，即可得解函数f（x）的解析式．
（2）由题意可得sin（2C+$\frac{π}{6}$）=-1，结合范围0＜C＜π，可得C=$\frac{2π}{3}$．由$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}=-\frac{3}{2}$，解得ab=3，利用余弦定理即可解得c的值．

解答 （本小题满分12分）
解：f（x）=$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=sinωxcosφ+cosωxsinφ=sin（ωx+φ），----------（2分）
由题意，得$\frac{T}{4}$=$\frac{5π}{12}$-$\frac{π}{6}$，可得：T=π，所以ω=2．----------------（3分）
将点P（$\frac{π}{6}，1$），代入y=sin（2x+φ）  得sin（2×$\frac{π}{6}$+φ）=1，
所以φ=2kπ+$\frac{π}{6}$，（k∈Z），
又因为|φ|＜$\frac{π}{2}$，
所以φ=$\frac{π}{6}$，------------（5分）
即函数f（x）的解析式为f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$），（x∈R）--------------（6分）
（2）由f（C）=-1，即sin（2C+$\frac{π}{6}$）=-1，
  又因为0＜C＜π，可得：C=$\frac{2π}{3}$．------（8分）
由$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}=-\frac{3}{2}$，知abcosC=-$\frac{3}{2}$，
所以，ab=3．----------------（10分）
由余弦定理知c²=a²+b²-2abcosC=（a+b）²-2ab-2abcosC=（2$\sqrt{3}$）²-2×3-2×3×（-$\frac{1}{2}$）=9，
所以c=3或-3（舍去），故c=3．--------------------（12分）

点评 本题主要考查了平面向量数量积的运算，两角和的正弦函数公式，周期公式，余弦定理的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．