Question

已知函数f(x)＝2x³－3x.

(1)求f(x)在区间[－2,1]上的最大值；

(2)若过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切，求t的取值范围；

(3)问过点A(－1,2)，B(2,10)，C(0,2)分别存在几条直线与曲线y＝f(x)相切？(只需写出结论)

Answer 1

解　(1)由f(x)＝2x³－3x得f′(x)＝6x²－3.

令f′(x)＝0，得x＝－或x＝.

因为f(－2)＝－10，，

，f(1)＝－1.

所以f(x)在区间[－2,1]上的最大值为

(2)设过点P(1，t)的直线与曲线y＝f(x)相切于点(x₀，y₀)．

则y₀＝2x－3x₀，且切线斜率为k＝6x－3，

所以切线方程为y－y₀＝(6x－3)(x－x₀)．

因此t－y₀＝(6x－3)(1－x₀)．

整理得4x－6x＋t＋3＝0.

设g(x)＝4x³－6x²＋t＋3，

则“过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切”等价于“g(x)有3个不同零点”．

g′(x)＝12x²－12x＝12x(x－1)，

g(x)与g′(x)的情况如下：

所以g(0)＝t＋3是g(x)的极大值，g(1)＝t＋1是g(x)的极小值．

当g(0)＝t＋3≤0，即t≤－3时，此时g(x)在区间(－∞，1]和(1，＋∞)上分别至多有1个零点，所以g(x)至多有2个零点．

当g(1)＝t＋1≥0，即t≥－1时，此时g(x)在区间(－∞，0)和[0，＋∞)上分别至多有1个零点，所以g(x)至多有2个零点．

当g(0)>0且g(1)<0，即－3<t<－1时，因为g(－1)＝t－7<0，g(2)＝t＋11>0，所以g(x)分别在区间[－1,0)，[0,1)和[1,2)上恰有1个零点，由于g(x)在区间(－∞，0)和(1，＋∞)上单调，所以g(x)分别在区间(－∞，0)和[1，＋∞)上恰有1个零点．

综上可知，当过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切时，t的取值范围是(－3，－1)．

(3)过点A(－1,2)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切；

过点B(2,10)存在2条直线与曲线y＝f(x)相切；

过点C(0,2)存在1条直线与曲线y＝f(x)相切．