Question

已知函数f(x)＝x³－3x及y＝f(x)上一点P(1，－2)，过点P作直线l.

(1)求使直线l和y＝f(x)相切且以P为切点的直线方程；

(2)求使直线l和y＝f(x)相切且切点异于P的直线方程．

Answer 1

解　(1)由f(x)＝x³－3x得f′(x)＝3x²－3，

过点P且以P(1，－2)为切点的直线的斜率f′(1)＝0，

∴所求的直线方程为y＝－2.

(2)设过P(1，－2)的直线l与y＝f(x)切于另一点(x₀，y₀)，

则f′(x₀)＝3x－3.

又直线过(x₀，y₀)，P(1，－2)．

故其斜率可表示为

又

即x－3x₀＋2＝3(x－1)(x₀－1)，

解得x₀＝1(舍去)或x₀＝－，

故所求直线的斜率为k＝3×＝－.

∴y－(－2)＝－(x－1)，即9x＋4y－1＝0.