Question

已知函数f(x)＝log₄(4^x＋1)＋kx(k∈R)为偶函数．

(1)求k的值；

(2)若方程f(x)＝log₄(a·2^x－a)有且只有一个根，求实数a的取值范围．

Answer 1

解　(1)∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，

即log₄(4^－x＋1)－kx＝log₄(4^x＋1)＋kx，

即(2k＋1)x＝0，∴k＝－.

(2)依题意有log₄(4^x＋1)－x＝log₄(a·2^x－a)，

即

令t＝2^x，则(1－a)t²＋at＋1＝0(*)，

只需其有一正根即可满足题意．

①当a＝1，t＝－1时，不合题意．

②(*)式有一正一负根t₁，t₂，

即

得a>1，经验证正根满足at－a>0，∴a>1.

③(*)式有相等两根，即Δ＝0⇒a＝±2－2，

此时，

若a＝2(－1)，则有，此时方程(1－a)t²＋at＋1＝0无正根，故a＝2(－1)舍去；

因此a＝－2(＋1)．

综上所述，a>1或a＝－2－2.