Question

13．已知定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=x²-3x．则关于x的方程f（x）=x+3的解集为{2+$\sqrt{7}$，-1，-3}．

Answer 1

分析 根据函数奇偶性的性质求出当x＜0时的解析式，解方程即可．

解答 解：若x＜0，则-x＞0，
∵定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=x²-3x．
∴当x＜0时，f（-x）=x²+3x=-f（x）．
则当x＜0时，f（x）=-x²-3x．
若x≥0，由f（x）=x+3得x²-3x=x+3，
则x²-4x-3=0，则x=$\frac{4±\sqrt{16+4×3}}{2}$=$\frac{4±2\sqrt{7}}{2}$=2±$\sqrt{7}$，
∵x≥0，∴x=2+$\sqrt{7}$，
若x＜0，由f（x）=x+3得-x²-3x=x+3，
则x²+4x+3=0，则x=-1或x=-3，
综上方程f（x）=x+3的解集为{2+$\sqrt{7}$，-1，-3}；
故答案为：{2+$\sqrt{7}$，-1，-3}

点评 本题主要考查方程根的求解，根据函数奇偶性的性质求出函数的解析式是解决本题的关键．注意要进行分类讨论．