Question

（2010•湖北模拟）双曲线C的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），l₁，l₂为其渐近线，F为右焦点，过F作l∥l₂且l交双曲线C于R，交l₁于M．若

FR

=λ

FM

，且λ∈（

1

2

，

2

3

），则双曲线的离心率的取值范围为（　　）

• A．（1，

  2

  ]
• B．（

  2

  ，

  3

  ）
• C．（

  3

  ，

  5

  ）
• D．（

  5

  ，+∞）

Answer 1

分析：由题意，可给出渐近线的方程，直线l的方程，由题设条件建立方程解出两点M，R的坐标，从而给出两向量

FR

，

FM

的坐标，代入

FR

=λ

FM

，由向量相等的得到关于a，c的方程，结合离心率的定义，将此方程转化为关于e的方程，解方程求出e即可选正确选项

解答：解：由题意得l₁：y=-

b

a

x，l₂：y=

b

a

x，l：y=

b

a

(x-c)，
由l交双曲线C于R，令

y= b a (x-c) x2 a2 - y2 b2 =1

，解此方程组得R（

a2+c2

2c

，

b

a

×

a2-c2

2c

）
故有

FR

=（

a2-c2

2c

，

b

a

×

a2-c2

2c

）
由l交l₁于M，令

y= b a (x-c) y=- b a x

解此方程组得M（

c

2

，-

bc

2a

）
故有

FM

=（-

c

2

，-

bc

2a

）
由

FR

=λ

FM

，得（

a2-c2

2c

，

b

a

×

a2-c2

2c

）=λ（-

c

2

，-

bc

2a

）
所以

a2-c2

2c

=-

λc

2

，整理得a²=（1-λ）c²，即e²=

1

1-λ

又λ∈（

1

2

，

2

3

），
∴e²∈（2，3），即e∈（

2

，

3

）
故选B

点评：本题考查直线与直线，直线与双曲线交点的求法，离心率公式，向量的相等及向量坐标表示等知识，解题的关键是联立方程解出两交点的坐标，得到关于e的方程，本题计算量大，极易出错，但解题思维难度低，这是圆锥曲线问题的特点，做题时要严谨，避免计算失误造成解题无法进行，本题考查了计算能力，推理判断的能力及方程的思想转化的思想，属于计算难度较大的题