Question

【题目】已知抛物线，过点的直线交抛物线于、两点，设为坐标原点，点.

（1）求的值；

（2）若，，的面积成等比数列，求直线的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）直线的方程为或

【解析】

（1）根据直线的倾斜角与角的关系，即可用直线的斜率以及两角和与差的正切公式求出的值.

（2）将条件“的面积成等比数列”等价转化为“成等比数列”，再将直线的方程代入抛物线方程，利用韦达定理得到的值，结合条件即可建立关于直线的斜率的方程，从而求出斜率，得到直线的方程.

解：（1）由题意直线，斜率均存在，且，.

∴ .

故.

（2）由（1）知点为抛物线的焦点

据题意，直线的斜率存在且不为0，故可设直线的方程为.

由 .

设、，则有，，

.

若，，的面积成等比数列，则，，成等比数列

∴，即：.

∴

∴ ，则.

解得，或，均满足.

故直线的方程为或.