Question

在n×n个实数组成的n行n列数表中，先将第一行的所有空格依次填上1，2，2²，2³…2^n-1，再将首项为1公比为q的数列{a_n}依次填入第一列的空格内，然后按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规律填写其它空格．

	第1列	第2列	第3列	第4列		第n列
第1行	1	2	22	23		2n-1
第2行	q
第3行	q2
第4行	q3
…
第n行	qn-1

（Ⅰ）设第2行的数依次为B₁，B₂，B₃…B_n．试用n，q表示B₁+B₂+B₃+…+B_n的值；
（Ⅱ）设第3行的数依次为C₁，C₂，C₃…C_n，记为数列{C_n}．
①求数列{C_n}的通项C_n；
②能否找到q的值使数列{C_n}的前m项C₁，C₂，C₃…C_m（m≥3，m∈N⁺）成等比数列？若能找到，m的值是多少？若不能找到，说明理由．

Answer 1

考点：数列的应用

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）根据n×n数表的规律，可得B₁+B₂+B₃+…+B_n=q+（2+q）+（2+2²+q）+…+（2+2²+…+2^n-1+q），再分组求和，即可得出结论；
（Ⅱ）①第3行的通项C_n=B₂+B₃+…+B_n+q²=（B₁+B₂+B₃+…+B_n）+q²-B₁；
②当m=3时，设C₁，C₂，C₃成等比数列，求出q，再分类讨论，即可得出结论．

解答： 解：（Ⅰ）B₁+B₂+B₃+…+B_n=q+（2+q）+（2+2²+q）+…+（2+2²+…+2^n-1+q）
=[（2¹-2）+（2²-2）+…+（2ⁿ-2）]+nq=2ⁿ⁺¹-2（n+1）+nq；
（Ⅱ）①由（Ⅰ）可知B₁+B₂+B₃+…+B_n=2ⁿ⁺¹-2（n+1）+nq，
∴第3行的通项C_n=B₂+B₃+…+B_n+q²=（B₁+B₂+B₃+…+B_n）+q²-B₁
=2ⁿ⁺¹-2（n+1）+（n-1）q+q²，
∴Cn=2n+1-2(n+1)+(n-1)q+q2
②当m=3时，设C₁，C₂，C₃成等比数列，则C1C3=

C

2 2

，
∴q²（8+2q+q²）=（2+q+q²）²，
化简得3q²-4q-4=0，
解得q=2或q=-

2

3

当q=2时，Cn=2n+1，∴

Cn

Cn-1

=2，
∴当q=2时数列C₁，C₂，C₃…C_n的前m项（m∈N⁺，m≥3）成等比数列；
当q=-

2

3

时，C1=

4

9

，C2=

16

9

，C3=

64

9

，C4=

184

9

，
∴

C2

C1

=

C3

C2

≠

C4

C3

，
∴当且仅当m=3，q=-

2

3

时C₁，C₂，C₃成等比数列．

点评：本题主要考查等比数列的定义、判断、数列求和．考查阅读、计算、分析解决问题的能力．