Question

已知函数f（x）=

ex

x-a

，（其中常数a＞0）
（Ⅰ）当a=1时，求曲线在（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）若存在实数x∈（a，2]使得不等式f（x）≤e²成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,函数恒成立问题

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）把a=1代入函数解析式，求出f（0），求出原函数的导函数，再求出f′（1），则曲线在（0，f（0））处的切线方程可求；
（Ⅱ）求出原函数的导函数，得到导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，由导函数在各区间段内的符号得到原函数的单调性，把存在实数x∈（a，2]使不等式
f（x）≤e²成立转化为在（a，2]上f(x)min≤e2成立，然后由a+1≤2和a+1＞2分类求出f（x）的最小值，由最小值小于等于e²求解a的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）当a=1时，f(x)=

ex

x-1

，f′(x)=

ex(x-2)

(x-1)2

，
∴f（0）=-1，f′（0）=-2，
∴曲线在（0，f（0））处的切线方程为：2x+y+1=0；
（Ⅱ）函数的定义域{x|x≠a}．
由f（x）=

ex

x-a

，得f′(x)=

ex[x-(a+1)]

(x-a)2

，
令f'（x）=0，得x=a+1，
当x∈（-∞，a），（a，a+1）时，f′（x）0．
∴f（x）在（-∞，a），（a，a+1）递减，在（a+1，+∞）递增．
若存在实数x∈（a，2]使不等式f（x）≤e²成立，
只需在（a，2]上f(x)min≤e2成立，
①若a+1≤2，即0＜a≤1时，f(x)min=f(a+1)=ea+1≤e2，
∴a+1≤2，即a≤1，
∴0＜a≤1；
②若a+1＞2，即1＜a＜2，f(x)min=f(2)=

e2

2-a

≤e2，
解得a≤1，
又1＜a＜2，
∴a∈∅．
综上，a的取值范围是（0，1]．

点评：本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的最值，体现了数学转化思想方法，是中档题．