Question

关于x的方程x³-3x²-a=0有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,函数的零点与方程根的关系

专题：综合题,导数的综合应用

分析：构造f（x）=x³-3x²-a，则f′（x）=3x²-6x=3x（x-2），可知f（0）=-a为极大值，f（2）=-4-a为极小值，从而当极大值大于0，极小值小于0时，有三个不等实根，由此可得a的取值范围．

解答： 解：假设f（x）=x³-3x²-a，
由题意知使函数f（x）=x³-3x²-a的极大值大于0且极小值小于0即可，
则f′（x）=3x²-6x=3x（x-2）
∴函数在（-∞，0），（2，+∞）上单调增，在（0，2）上单调减
∴f（0）=-a为极大值，f（2）=-4-a为极小值
当f（0）＞0，f（2）＜0时，即-a＞0，-4-a＜0，即-4＜a＜0时，有三个不等实根
故选A．
故答案为：（-4，0）

点评：本题以方程为载体，考查方程根的问题，考查函数与方程的联系，解题的关键是构造函数，利用导数求函数的极值．