Question

已知函数f（x）=2x³-ax²+6在x=1时取得极值
（1）求a的值，并求函数f（x）的单调区间；
（2）求函数f（x）的极大值和极小值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：计算题,导数的概念及应用

分析：（1）先求出导数f′（x）=6x²-2ax，由f′（1）=0得a=3，令f′（x）＞0得出函数的增区间，令f′（x）＜0得出函数的减区间；
（2）由（1）得：x=0时函数取得极大值，x=1时函数取得极小值，直接代入函数的解析式求出极值即可．

解答： 解：（1）f′（x）=6x²-2ax
又∵f′（1）=0，∴a=3
则f（x）=2x³-3x²+6
∴f′（x）=6x²-6x
令f′（x）＞0即6x²-6x＞0   得x＜0   或x＞1
令f′（x）＜0即6x²-6x＜0   得0＜x＜1
∴函数f（x）的单调增区间为：（-∞，0）和（1，+∞），
函数f（x）的单调减区间为：（0，1）
（2）由（1）得：x=0时函数取得极大值，x=1时函数取得极小值，
则函数f（x）_极大值=f（0）=6
函数f（x）_极大值=f（1）=5．

点评：本题主要考查了函数的极值问题及导数的应用，利用导数作为工具去研究函数的性质非常方便．