Question

4．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，AD是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AC，交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE²=EC•EA；
（2）过D点作DF⊥AB，垂足为F，求证：$\frac{AF}{AE}$=$\frac{CE}{FB}$．

Answer 1

分析 （1）根据切线定理和割线定理证明即可；（2）证出DE=DF，结合（1），从而证出结论．

解答 解：（1）连接OD，∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD．
∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAC=∠OAD，
∴∠ODA=∠DAC，∴OD∥AE．
∵AE⊥ED，∴OD⊥ED，
∴ED是圆O的切线，
由切割线定理得DE²=EC•EA．

（2）∵AD平分∠EAB，DF⊥AB，DE⊥AE，
∴DE=DF．
由（1）知DE²=EC•EA，
又△ADB为直角三角形，且DF⊥AB，
∴DF²=AF•FB，
∴AF•FB=EC•EA，
即$\frac{AF}{AE}=\frac{CE}{FB}$．

点评 本题考查了切割线定理，考查圆的有关性质，是一道中档题．