Question

6．过正四面体ABCD的顶点A作一个形状为等腰三角形的截面，且使截面与底面BCD所成的角为75°，这样的截面共可作出18个．

Answer 1

分析 计算二面角A-CD-B的大小，得出根据与75°的大小关系及对称性判断截面个数．

解答 解：作正四面体A-BCD的高AO，连接BO交CD于E，连接AE．
则E为CD的中点，O为△等边三角形BCD的中心．
∴BE⊥CD，AE⊥CD，∴∠AEB为二面角A-CD-B的平面角．
设AB=2，则BE=$\sqrt{3}$，∴OE=$\frac{1}{3}BE=\frac{\sqrt{3}}{3}$，OB=$\frac{2}{3}BE=\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
∴AO=$\sqrt{A{B}^{2}-B{O}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．
∴tan∠AEB=$\frac{AO}{OE}=2\sqrt{2}$．
∵tan75°=$\frac{sin75°}{cos75°}$=$\frac{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}}$=2+$\sqrt{3}$＞2$\sqrt{2}$，
∴∠AEB＜75°．
在平面BCD内，以O为圆心，以OA•tan75°为半径作圆O，则圆O在△BCD内部．
∴若截面AMN与底面BCD所成角为75°，则截面AMN与平面BCD的交线为圆O的切线．
（1）若圆O的切线与△BCD的一边平行，如图1所示：则存在6个符合条件的截面三角形AMN．
（2）若圆O的切线过三角形的顶点，不妨设过点B，交CD于M，如图2所示：

则由△ACM≌△BCM可得AM=BM，故截面ABM为符合条件的截面三角形，
显然存在6个这样的截面三角形．
（3）若圆O的切线MN与三角形BCD的两边相交，不妨设与NC交于M，与CD交于N，且BM=CN，
如图3所示：

显然△ABM≌△ACN，故而AM=AN，
∴截面AMN为符合条件的截面三角形．
显然这样的截面也有6个．
综上，符合条件的截面共有18个．
故答案为：18．

点评 本题考查了正四面体的结构特征，二面角的计算，属于中档题．