Question

10．对于函数f₁（x）、f₂（x）、h（x），如果存在实数a，b使得h（x）=a•f₁（x）+bf₂（x），那么称h（x）为f₁（x）、f₂（x）的和谐函数．
（1）已知函数f₁（x）=x-1，f₂（x）=3x+1，h（x）=2x+2，试判断h（x）是否为f₁（x）、f₂（x）的和谐函数？并说明理由；
（2）已知h（x）为函数f₁（x）=log₃x，f₂（x）=log${\;}_{\frac{1}{3}}}$x的和谐函数，其中a=2，b=1，若方程h（9x）+t•h（3x）=0在x∈[3，9]上有解，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）h（x）是f₁（x）、f₂（x）的和谐函数，存在a=-1，b=1，设h（x）=af₁（x）+bf₂（x），利用新定义判断即可．
（2）解法一：方程$2{log_3}（9x）+{log_{\frac{1}{3}}}（9x）+t[2{log_3}（3x）+{log_{\frac{1}{3}}}（3x）]=0$在x∈[3，9]上有解，即log₃（9x）+t•log₃（3x）=0在x∈[3，9]上有解，设m=log₃x，x∈[3，9]，则m∈[1，2]，原问题可以转化关于m的方程（1+t）m+（t+2）=0在m∈[1，2]上有解，令g（m）=（1+t）m+（t+2）通过g（1）•g（2）≤0，求解即可．
（2）解法二：log₃（9x）+t•log₃（3x）=0，化简得：2+log₃x+t（1+log₃x）=0，原式可转化为方程$t=-\frac{{2+{{log}_3}x}}{{1+{{log}_3}x}}$在x∈[3，9]区间上有解，即求函数$g（x）=-\frac{{2+{{log}_3}x}}{{1+{{log}_3}x}}$在x∈[3，9]的值域，通过分离常数法，求解即可．

解答 解：（1）h（x）是f₁（x）、f₂（x）的和谐函数，因为存在a=-1，b=1
使h（x）=-f₁（x）+f₂（x）…2分
设h（x）=af₁（x）+bf₂（x），则2x+2=a（x-1）+b（3x+1），
所以$\left\{\begin{array}{l}a+3b=2\\ b-a=2\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}a=-1\\ b=1\end{array}\right.$
所以h（x）是f₁（x）、f₂（x）的和谐函数．…6分
（2）解法一：依题意，由方程$2{log_3}（9x）+{log_{\frac{1}{3}}}（9x）+t[2{log_3}（3x）+{log_{\frac{1}{3}}}（3x）]=0$在x∈[3，9]上有解，即log₃（9x）+t•log₃（3x）=0在x∈[3，9]上有解，
化简得：2+log₃x+t（1+log₃x）=0…10分
设m=log₃x，x∈[3，9]，则m∈[1，2]，即 （1+m）•t+（t+2）=0
原问题可以转化关于m的方程（1+t）m+（t+2）=0在m∈[1，2]上有解，
令g（m）=（1+t）m+（t+2）…13分
由题意得：g（1）•g（2）≤0，解得$-\frac{3}{2}≤t≤-\frac{4}{3}$．
综上：$-\frac{3}{2}≤t≤-\frac{4}{3}$…16分
（2）解法二：log₃（9x）+t•log₃（3x）=0，化简得：2+log₃x+t（1+log₃x）=0…10分
因为x∈[3，9]，所以（1+log₃x）∈[2，3]，
原式可转化为方程$t=-\frac{{2+{{log}_3}x}}{{1+{{log}_3}x}}$在x∈[3，9]区间上有解
即求函数$g（x）=-\frac{{2+{{log}_3}x}}{{1+{{log}_3}x}}$在x∈[3，9]的值域…12分
令$g（x）=-\frac{{2+{{log}_3}x}}{{1+{{log}_3}x}}=-1-\frac{1}{{1+{{log}_3}x}}$，因为  2≤1+log₃x≤3
由反比例函数性质可得，函数g（x）的值域为$[{-\frac{3}{2}，-\frac{4}{3}}]$
所以实数t的取值范围$[{-\frac{3}{2}，-\frac{4}{3}}]$．…16分．

点评 本题考查函数与方程的综合应用，考查转化思想以及计算能力．