Question

20．如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2BB₁=2BC，E为D₁C₁的中点，连结ED，EC，EB和DB．
（Ⅰ）证明：A₁D₁∥平面EBC；
（Ⅱ）证明：平面EDB⊥平面EBC．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明：A₁D₁∥BC，即可证明A₁D₁∥平面EBC；
（Ⅱ）证明：DE⊥平面EBC，即可证明平面EDB⊥平面EBC．

解答 证明：（Ⅰ）在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∴A₁D₁∥AD∥BC…（2分）
∵A₁D₁∥BC，A₁D₁?平面EBC，BC?平面EBC…（5分）
∴A₁D₁∥平面EBC…（7分）
（Ⅱ）BB₁=BC=a则AB=2a且$DE=EC=\sqrt{2}a$，∴DE²+EC²=4a²=DC²，∴DE⊥EC…（10分）$E{B^2}=EC_1^2+BC_1^2=3{a^2}$，DB²=DC²+BC²=5a²，
又ED²=2a²，∴DE²+EB²=DB²，∴DE⊥EB…（13分）
所以DE⊥平面EBC，DE?平面EBD
所以平面EDB⊥平面EBC…（15分）

点评 本题考查线面平行、垂直的判定，考查平面与平面垂直的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．