Question

8．若x∈（0，$\frac{1}{2}$]时，恒有4^x＜log_ax，则a的取值范围是（　　）

• A． $（0，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$
• B． $（\frac{{\sqrt{2}}}{2}，1）$
• C． $（1，\sqrt{2}）$
• D． $\sqrt{2}，2）$

Answer 1

分析 当0＜x≤$\frac{1}{2}$时，不等式4^x＜log_ax恒成立，化为在0＜x≤$\frac{1}{2}$时，y=log_ax的图象恒在y=4^x的图象的上方，在同一坐标系中，分别画出指数和对数函数的图象，分析可得答案．

解答 解：当0＜x≤$\frac{1}{2}$时，函数y=4^x的图象如图所示；
若不等式4^x＜log_ax恒成立，则
y=log_ax的图象恒在y=4^x的图象的上方（如图中虚线所示）
∵y=log_ax的图象与y=4^x的图象交于（$\frac{1}{2}$，2）点时，
a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
故虚线所示的y=log_ax的图象对应的底数a应满足$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜a＜1．
故选：B．

点评 本题以指数函数与对数函数图象与性质为载体考查了函数恒成立问题，其中熟练掌握指数函数和对数函数的图象与性质是解题的关键．