Question

16．如图，三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠ABC=$\frac{π}{2}$，点D、E在线段AC上，且AD=DE=EC=1，PD=PC=2，点F在线段AB上，且EF∥BC．
（1）证明：AB⊥平面PFE；
（2）若BC=$\sqrt{3}$，求四棱锥P-DFBC的体积．

Answer 1

分析 （1）由已知可得△PDE≌△PCE，得PE⊥DC，又平面PAC⊥平面ABC，可得PE⊥平面ABC，则PE⊥AB，再由AB⊥BC，EF∥BC，结合线面垂直的判定可得AB⊥平面PEF；
（2）求解直角三角形可得三角形ABC的面积，再由比例关系求得四边形BCEF的面积及三角形DEF的面积，可得四边形DFBC的面积，代入棱锥体积公式求得
四棱锥P-DFBC的体积．

解答 （1）证明：在△PDE与△PCE中，
∵PD=PC，DE=EC，PE=PE，∴△PDE≌△PCE，
则PE⊥DC，∵平面PAC⊥平面ABC，
且平面PAC∩平面ABC=AC，
∴PE⊥平面ABC，则PE⊥AB，
∵AB⊥BC，EF∥BC，∴AB⊥EF，又PE∩EF=E，
∴AB⊥平面PEF；
（2）解：∵AC=3，BC=$\sqrt{3}$，且∠ABC=$\frac{π}{2}$，
∴$AB=\sqrt{{3}^{2}-（\sqrt{3}）^{2}}=\sqrt{6}$，
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×\sqrt{6}×\sqrt{3}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∵AE：AC=2：3，∴S_△AEF：S_△ABC=4：9，
则${S}_{△AEF}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$，∴${S}_{BCEF}=\frac{3\sqrt{2}}{2}-\frac{2\sqrt{2}}{3}=\frac{5\sqrt{2}}{6}$，
${S}_{△DEF}=\frac{1}{2}{S}_{△AFE}=\frac{\sqrt{2}}{6}$，
∴${S}_{DFBC}=\frac{5\sqrt{2}}{6}+\frac{\sqrt{2}}{6}=\sqrt{2}$．
∴${V}_{P-DFBC}=\frac{1}{3}×\sqrt{2}×\sqrt{3}=\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．