Question

12．已知函数f（x）=x³-$\frac{3}{2}$（k+1）x²+3kx+1，其中k∈R．
（1）当k=3时，求函数f（x）在[0，5]上的值域；
（2）若函数f（x）在[1，2]上的最小值为3，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，求出函数的值域即可；
（2）法一（二）：通过讨论k的范围，求出函数的最小值，结合函数f（x）在[1，2]上的最小值为3，求出k的范围即可．

解答 （1）解：k=3时，f（x）=x³-6x²+9x+1，
则f′（x）=3x²-12x+9=3（x-1）（x-3），
令f′（x）=0得x₁=1，x₂=3，列表如下：

x	0	（0，1）	1	（1，3）	3	（3，5）	3
f′（x）		+	0	-	0	+
f（x）	1	单调递增	5	单调递减	1	单调递增	21

由上表知函数f（x）的值域为[1，21]…（6分）
（2）方法一：f′（x）=3x²-3（k+1）x+3k=3（x-1）（x-k）
①当k≤1时，?x∈[1，2]，f'（x）≥0，函数f（x）在区间[1，2]单调递增
所以$f{（x）_{min}}=f（1）=1-\frac{3}{2}（k+1）+3k+1=3$
即$k=\frac{5}{3}$（舍）                            …（8分）
②当k≥2时，?x∈[1，2]，f'（x）≤0，函数f（x）在区间[1，2]单调递减
所以f（x）_min=f（2）=8-6（k+1）+3k•2+1=3
符合题意                                 …（10分）
③当1＜k＜2时，
当x∈[1，k）时，f'（x）＜0f（x）区间在[1，k）单调递减
当x∈（k，2]时，f'（x）＞0f（x）区间在（k，2]单调递增
所以$f{（x）_{min}}=f（k）={k^3}-\frac{3}{2}（k+1）{k^2}+3{k^2}+1=3$
化简得：k³-3k²+4=0
即（k+1）（k-2）²=0
所以k=-1或k=2（舍）
注：也可令g（k）=k³-3k²+4
则g′（k）=3k²-6k=3k（k-2）
对?k∈（1，2），g′（k）≤0，
g（k）=k³-3k²+4在k∈（1，2）单调递减
所以0＜g（k）＜2不符合题意
综上所述：实数k取值范围为k≥2…（13分）
方法二：f′（x）=3x²-3（k+1）x+3k=3（x-1）（x-k）
①当k≥2时，?x∈[1，2]，f'（x）≤0，
函数f（x）在区间[1，2]单调递减
所以f（x）_min=f（2）=8-6（k+1）+3k•2+1=3
符合题意                                    …（8分）
②当k≤1时，?x∈[1，2]，f'（x）≥0，
函数f（x）在区间[1，2]单调递增
所以f（x）_min＜f（2）=3不符合题意           …（10分）
③当1＜k＜2时，
当x∈[1，k）时，f'（x）＜0f（x）区间在[1，k）单调递减，
当x∈（k，2]时，f'（x）＞0f（x）区间在（k，2]单调递增，
所以f（x）_min=f（k）＜f（2）=3不符合题意，
综上所述：实数k取值范围为k≥2…（13分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．