Question

1．已知直线l过点P（-1，2），倾斜角为$\frac{2}{3}$π，圆的极坐标方程为ρ=2cos$（θ+\frac{π}{3}）$．
（1）求圆的普通方程；
（2）若直线l与圆相交于M、N两点，求|PM|•|PN|的值．

Answer 1

分析 （1）圆的极坐标方程转化为${ρ^2}=ρcosθ-\sqrt{3}ρsinθ$，由此能求出圆的普通方程．
（2）由直线l过点P（-1，2），倾斜角为$\frac{2}{3}π$，求出直线l的参数方程，将直线的参数方程代入圆的方程，得：${t^2}+（3+2\sqrt{3}）t+6+2\sqrt{3}=0$，由此能求出|PM|•|PN|的值．

解答 解：（1）因为圆的极坐标方程为$ρ=2cos（θ+\frac{π}{3}）=cosθ-\sqrt{3}sinθ$，
所以${ρ^2}=ρcosθ-\sqrt{3}ρsinθ$…（2分）
所以圆的普通方程为${x^2}+{y^2}-x+\sqrt{3}y=0$．               …（4分）
（2）直线l过点P（-1，2），倾斜角为$\frac{2}{3}π$
所以直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=-1+tcos\frac{2}{3}π\\ y=2+tsin\frac{2}{3}π\end{array}\right.$（t为参数），
即$\left\{\begin{array}{l}x=-1-\frac{1}{2}t\\ y=2+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$（t为参数）       …（6分）
将直线的参数方程代入圆的普通方程，整理得：${t^2}+（3+2\sqrt{3}）t+6+2\sqrt{3}=0$．                       …（8分）
设方程的两根为t₁，t₂，则${t_1}{t_2}=6+2\sqrt{3}$，所以$|PM|•|PN|=|{t_1}{t_2}|=6+2\sqrt{3}$．               …（10分）

点评 本题考查圆的普通方程的求法，考查两线段长的乘积的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．