Question

13．已知函数$f（x）=sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}+{cos^2}\frac{x}{2}-1$．
（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间；
（2）求函数f（x）的最值及此时x的值．

Answer 1

分析 （1）先利用二倍角将函数化为y=Asin（ωx+φ）+B的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期，最后将内层函数看作整体，放到正弦函数的减区间上，解不等式得函数的单调递减区间；
（2）结合三角函数的图象和性质，求出f（x）最大和最小值，并解出对应的x值．

解答 解：由$f（x）=sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}+{cos^2}\frac{x}{2}-1$．
?f（x）=$\frac{1}{2}$sinx+$\frac{1}{2}$$+\frac{1}{2}$cosx-1
?f（x）=$\frac{1}{2}$sinx+$\frac{1}{2}$cosx-$\frac{1}{2}$
?f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}sin（x+\frac{π}{4}）-\frac{1}{2}$，
（1）∴f（x）的最小正周期$T=\frac{2π}{ω}=\frac{2π}{1}=2π$．
∵y=sinx函数的单调递减区间为$[2kπ+\frac{π}{2}，2kπ+\frac{3π}{2}]$，（k∈Z）
∴$x+\frac{π}{4}∈$$[2kπ+\frac{π}{2}，2kπ+\frac{3π}{2}]$，（k∈Z）
解得：$2kπ+\frac{π}{4}≤x≤2kπ+\frac{5π}{4}$，（k∈Z）
∴f（x）的单调递减区间为$[2kπ+\frac{π}{4}，2kπ+\frac{5π}{4}]$，（k∈Z）
（2）由三角函数的图象和性质：
可知：当∴$x+\frac{π}{4}=\frac{π}{2}+2kπ$时，f（x）取得最大值，即：$f（x）_{max}=\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}-1}{2}$；
此时解得$x=2kπ+\frac{π}{4}$，（k∈Z）
当$x+\frac{π}{4}=-\frac{π}{2}+2kπ$时，f（x）取得最小值，即：$f（x）_{min}=-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{2}+1}{2}$；
此时解得$x=2kπ-\frac{3π}{4}$，（k∈Z）

点评 本题考查了利用二倍角化简三角函数的能力和三角函数的图象和性质的运用能力．属于基础题．