Question

已知函数f（x）=x³-（k²-k+1）x²+5x-2，g（x）=k²x²+kx+1，其中k∈R，若函数F（x）=f（x）+g（x）在区间（0，3）上不单调，则k的取值范围为（　　）

• A、[-4，-2）
• B、（-3，-1]
• C、（-5，-2]
• D、（-5，-2）

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：因F（x）=f（x）+g（x）=x³+（k-1）x²+（k+5）x-1，先求导数：F′（x），因F（x）在区间（0，3）上不单调，得到F′（x）=0在（0，3）上有实数解，且无重根，再利用分离参数的方法得出k，最后再利用导数求出此函数的值域即可；

解答： 解：因F（x）=f（x）+g（x）=x³+（k-1）x²+（k+5）x-1，
F′（x）=3x²+2（k-1）x+（k+5），
因F（x）在区间（0，3）上不单调，
所以F′（x）=0在（0，3）上有实数解，且无重根，
由F′（x）=0得k（2x+1）=-（3x²-2x+5），
∴k=-

3x2-2x+5

2x+1

=-

3

4

[（2x+1）+

9

2x+1

-

10

3

]，
令t=2x+1，有t∈（1，7），记h（t）=t+

9

t

，
则h（t）在（1，3]上单调递减，在[3，7）上单调递增，
所以有h（t）∈[6，10），于是（2x+1）+

9

2x+1

∈[6，10）
得k∈（-5，-2]，而当k=-2时有F′（x）=0在（0，3）上有两个相等的实根x=1，故舍去，
所以k∈（-5，-2）；
故选：D．

点评：本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，同时考查了分析与解决问题的综合能力，属于中档题．