Question

4．若tan2α=-$\frac{{3\sqrt{7}}}{7}$，α∈（-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}}$），则sinα+cosα等于（　　）

• A． -$\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{7}}}{2}$

Answer 1

分析 根据二倍角公式与同角的三角函数关系式，结合题意即可求出结果．

解答 解：∵$tan2α=-\frac{{3\sqrt{7}}}{7}$，
∴$\frac{{{{sin}^2}2α}}{{{{cos}^2}2α}}=\frac{9}{7}$，
即$\frac{{{{sin}^2}2α}}{{1-{{sin}^2}2α}}=\frac{9}{7}$，
∴${sin^2}2α=\frac{9}{16}$；
又由题意知$2α∈（{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}）$，且$tan2α=-\frac{{3\sqrt{7}}}{7}＜0$，
∴$2α∈（{-\frac{π}{2}，0}）$，
∴$sin2α=-\frac{3}{4}$；
∴${（{sinα+cosα}）^2}=1+sin2α=\frac{1}{4}$，
结合$α∈（{-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}}）$得，
$sinα+cosα=\frac{1}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换与同角的三角函数关系的应用问题，是基础题目．