【题目】在正方体中,已知点
在直线
上运动,则下列四个命题中:①三棱锥
的体积不变;②
;③当
为
中点时,二面角
的余弦值为
;④若正方体的棱长为2,则
的最小值为
;其中说法正确的是____________(写出所有说法正确的编号)
【答案】①②④
【解析】
①∵,∴
平面
,得出
上任意一点到平面
的距离相等,所以判断命题①;
②由已知得出点P在面上的射影在
上,根据线面垂直的判定和性质或三垂线定理,可判断命题②;
③当为
中点时,以点D为坐标原点,建立空间直角系
,如下图所示,运用二面角的空间向量求解方法可求得二面角
的余弦值,可判断命题③;
④过作平面
交
于点
,做点
关于面
对称的点
,使得点
在平面
内,根据对称性和两点之间线段最短,可求得当点
在点
时,
在一条直线上,
取得最小值
.可判断命题④.
①∵,∴
平面
,所以
上任意一点到平面
的距离相等,所以三棱锥
的体积不变,所以①正确;
②在直线
上运动时,点P在面
上的射影在
上,所以DP在面
上的射影在
上,又
,所以
,所以②正确;
③当为
中点时,以点D为坐标原点,建立空间直角系
,如下图所示,设正方体的棱长为2.
则:,
,所以
,
设面的法向量为
,则
,即
,令
,则
,
设面的法向量为
,
,即
,
,由图示可知,二面角
是锐二面角,所以二面角
的余弦值为
,所以③不正确;
④过作平面
交
于点
,做点
关于面
对称的点
,使得点
在平面
内,
则,所以
,当点
在点
时,
在一条直线上,
取得最小值
.
因为正方体的棱长为2,所以设点的坐标为
,
,
,所以
,
所以,又
所以
,
所以,
,
,故④正确.
故答案为:①②④.
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【题目】月份的二中迎来了国内外的众多宾客,其中很多人喜欢询问
团队模式,为了了解“询问
团队模式”是否与性别有关,在
月期间,随机抽取了
人,得到如下所示的列联表:
关心“ | 不关心“ | 合计 | |
男性 | 12 | ||
女性 | 36 | ||
合计 | 80 |
(1)若在这人中,按性别分层抽取一个容量为
的样本,男性应抽
人,请将上面的列联表补充完整,并据此资料能否在犯错误的概率不超过
前提下,认为关心“
团队”与性别有关系?
(2)若以抽取样本的频率为概率,从月来宾中随机抽取
人赠送精美纪念品,记这
人中关心“
团队”人数为
,求
的分布列和数学期望.
附:
0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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【题目】如图,是南北方向的一条公路,
是北偏东
方向的一条公路,某风景区的一段边界为曲线
.为方便游客光,拟过曲线
上的某点分别修建与公路
,
垂直的两条道路
,
,且
,
的造价分别为5万元
百米,40万元
百米,建立如图所示的直角坐标系
,则曲线符合函数
模型,设
,修建两条道路
,
的总造价为
万元,题中所涉及的长度单位均为百米.
(1)求解析式;
(2)当为多少时,总造价
最低?并求出最低造价.
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【题目】某中学有位学生申请
、
、
三所大学的自主招生.若每位学生只能申请其中一所大学,且申请其中任何一所大学是等可能的.
(1)求恰有人申请
大学的概率;
(2)求被申请大学的个数的概率分布列与数学期望
.
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【题目】以下三个命题:①在匀速传递的产品生产流水线上,质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测,这样的抽样是分层抽样;②若两个变量的线性相关性越强,则相关系数的绝对值越接近于1;③对分类变量与
的随机变量
的观测值
来说,
越小,判断“
与
有关系”的把握越大;其中真命题的个数为( )
A.3B.2C.1D.0
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【题目】为了保障全国第四次经济普查顺利进行,国家统计局从东部选择江苏, 从中部选择河北. 湖北,从西部选择宁夏, 从直辖市中选择重庆作为国家综合试点地区,然后再逐级确定普查区域,直到基层的普查小区.在普查过程中首先要进行宣传培训,然后确定对象,最后入户登记. 由于种种情况可能会导致入户登记不够顺利,这为正式普查提供了宝贵的试点经验. 在某普查小区,共有 50 家企事业单位,150 家个体经营户,普查情况如下表所示:
普查对象类别 | 顺利 | 不顺利 | 合计 |
企事业单位 | 40 | 10 | 50 |
个体经营户 | 100 | 50 | 150 |
合计 | 140 | 60 | 200 |
(1)写出选择 5 个国家综合试点地区采用的抽样方法;
(2)根据列联表判断是否有的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关”;
(3)以频率作为概率, 某普查小组从该小区随机选择 1 家企事业单位,3 家个体经营户作为普查对象,入户登记顺利的对象数记为, 写出
的分布列,并求
的期望值.
附:
0.10 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 6.635 | 10.828 |
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【题目】已知点A(0,-2),椭圆E: (a>b>0)的离心率为
,F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为
,O为坐标原点.
(1)求E的方程;
(2)设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点.当△OPQ的面积最大时,求l的方程.
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【题目】(本题满分15分)已知点是圆
上任意一点,过点
作
轴的垂线,垂足为
,点
满足
记点
的轨迹为曲线
.
(Ⅰ)求曲线的方程;
(Ⅱ)设,点
在曲线
上,且直线
与直线
的斜率之积为
,求
的面积的最大值.
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【题目】唐诗是中国文学的瑰宝.为了研究计算机上唐诗分类工作中检索关键字的选取,某研究人员将唐诗分成7大类别,并从《全唐诗》48900多篇唐诗中随机抽取了500篇,统计了每个类别及各类别包含“花”、“山”、“帘”字的篇数,得到下表:
爱情婚姻 | 咏史怀古 | 边塞战争 | 山水田园 | 交游送别 | 羁旅思乡 | 其他 | 总计 | |
篇数 | 100 | 64 | 55 | 99 | 91 | 73 | 18 | 500 |
含“山”字的篇数 | 51 | 48 | 21 | 69 | 48 | 30 | 4 | 271 |
含“帘”字的篇数 | 21 | 2 | 0 | 0 | 7 | 3 | 5 | 38 |
含“花”字的篇数 | 60 | 6 | 14 | 17 | 32 | 28 | 3 | 160 |
(1)根据上表判断,若从《全唐诗》含“山”字的唐诗中随机抽取一篇,则它属于哪个类别的可能性最大,属于哪个类别的可能性最小,并分别估计该唐诗属于这两个类别的概率;
(2)已知检索关键字的选取规则为:
①若有超过95%的把握判断“某字”与“某类别”有关系,则“某字”为“某类别”的关键字;
②若“某字”被选为“某类别”关键字,则由其对应列联表得到的的观测值越大,排名就越靠前;
设“山”“帘”“花”和“爱情婚姻”对应的观测值分别为
,
,
.已知
,
,请完成下面列联表,并从上述三个字中选出“爱情婚姻”类别的关键字并排名.
属于“爱情婚姻”类 | 不属于“爱情婚姻”类 | 总计 | |
含“花”字的篇数 | |||
不含“花”的篇数 | |||
总计 |
附:,其中
.
0.05 | 0.025 | 0.010 | |
3.841 | 5.024 | 6.635 |
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