Question

已知抛物线y²=4x上两定点A、B分别在对称轴两侧，F为焦点，且|AF|=2，|BF|=5，在抛物线的AOB一段上求一点P，使S_△ABP最大，并求面积最大值．

Answer 1

【答案】分析：先由题设条件知，|FA|=2，|FB|=5，可根据抛物线的定义求得点A、B的坐标；再由两点坐标已知，故由两点间距离公式求出两点的距离，由直线方程的两点式求出直线AB的方程；欲求△PAB的面积最大值可转化为求点P到直线AB的距离的最大值，设出点P的坐标，由点到直线的距离公式建立起点P到直线AB的距离的函数关系式，利用函数的知识求出最值即可．
解答：解：不妨设点A在第一象限，B点在第四象限．如图．
抛物线的焦点F（1，0），点A在第一象限，设A（x₁，y₁），y₁＞0，
由|FA|=2得x₁+1=2，x₁=1，代入y²=4x中得y₁=2，所以A（1，2），…（2分）；
同理B（4，-4），…（4分）
由A（1，2），B（4，-4）得 …（6分）
直线AB的方程为 ，化简得2x+y-4=0．…（8分）
再设在抛物线AOB这段曲线上任一点P（x，y），且0≤x≤4，-4≤y≤2．
则点P到直线AB的距离d=== …（9分）
所以当y=-1时，d取最大值 ，…（10分）
所以△PAB的面积最大值为S=×3 ×= …（11分）
此时P点坐标为（ ，-1）．…（12分）．
点评：本小题主要考查抛物线的应用、直线与圆锥曲线的位置关系、两点间距离公式、点到直线的距离公式、直线方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．