Question

已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为

1

2

，且椭圆经过点（0，

3

），
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）是否存在过点P（2，1）的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B满足

PA

•

PB

=

5

4

，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）设椭圆C的标准方程，利用椭圆C的离心率为

1

2

，且椭圆经过点（0，

3

），建立方程，求出几何量，即可求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设方程为y=k（x-2）+1，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合

PA

•

PB

=

5

4

，建立方程，即可求出直线l的方程．

解答： 解：（Ⅰ）设椭圆C的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
由题意得b=

3

，由

c

a

=

1

2

得a=2，c=1，
故椭圆C的标准方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）若存在过点P（2，1）的直线l满足条件，则l的斜率存在．
设方程为y=k（x-2）+1，代入椭圆方程，可得（3+4k²）x²-8k（2k-1）x+16k²-16k-8=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则由△=32（6k+3）＞0，可得k＞-

1

2

且x₁+x₂=

8k(2k-1)

3+4k2

，x₁x₂=

16k2-16k-8

3+4k2

∵

PA

•

PB

=

5

4

，
∴（x₁-2）（x₂-2）+（y₁-1）（y₂-1）=[x₁x₂-4（x₁+x₂）+4]（1+k²）=

5

4

代入整理可得k²=

1

4

，
∵k＞-

1

2

，∴k=

1

2

，
∴存在过点P（2，1）的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B满足

PA

•

PB

=

5

4

，其方程为y=

1

2

x．

点评：本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．