Question

已知tanα=

1

3

，tanβ=-

1

7

，且0＜α＜

π

2

，

π

2

＜β＜π，则2α-β的值

 

．

Answer 1

考点：两角和与差的正切函数

专题：三角函数的求值

分析：依题意，可求得tan2α及2α-β的取值范围，利用两角差的正切即可求得tan（2α-β）的值，继而可得2α-β的值．

解答： 解：∵0＜α＜

π

2

，tanα=

1

3

＜1=tan

π

4

，y=tanx在（0，

π

2

）上单调递增，
∴0＜α＜

π

4

，
∴0＜2α＜

π

2

；
又

π

2

＜β＜π，-π＜-β＜-

π

2

；
∴-π＜2α-β＜0，
∵tan2α=

2tanα

1-tan2α

=

2× 1 3

1-( 1 3 )2

=

3

4

，tanβ=-

1

7

，
∴tan（2α-β）=

tan2α-tanβ

1+tan2αtanβ

=

3 4 -(- 1 7 )

1+ 3 4 ×(- 1 7 )

=1，
∴2α-β=-

3π

4

．

点评：本题考查两角和与差的正切，确定tan2α的值及2α-β的取值范围是关键，也是难点，考查运算求解能力，属于中档题．