Question

7．如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是A₁D₁、A₁C₁的中点，求：
（1）异面直线AE与CF所成角的余弦值；
（2）二面角C-AF-E的余弦值的大小．

Answer 1

分析 （1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AE与CF所成角的余弦值．
（2）分别求出平面ACF的法向量和平面AEF的法向量，由此利用向量法能求出二面角C-AF-E的余弦值．

解答 解：（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，
∵E、F分别是A₁D₁、A₁C₁的中点，
∴A（2，0，0），E（1，0，2），C（0，2，0），F（1，1，2），
∴$\overrightarrow{AE}$=（-1，0，2），$\overrightarrow{CF}$=（1，-1，2），
∴cos＜$\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{CF}$＞=$\frac{\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{CF}}{|\overrightarrow{AE}|•|\overrightarrow{CF}|}$=$\frac{-1+0+4}{\sqrt{5}•\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{30}}{10}$．
∴异面直线AE与CF所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{30}}{10}$，
（2）$\overrightarrow{AC}$=（-2，2，0），$\overrightarrow{AE}$=（-1，0，2），$\overrightarrow{AF}$=（-1，1，2），
设平面ACF的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=-2x+2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AF}=-x+y+2z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，0），
设平面AEF的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AF}=-a+b+2c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AE}=-a+2c=0}\end{array}\right.$，取a=2，得$\overrightarrow{m}$=（2，0，1），
设二面角C-AF-E的平面角为θ，
则cosθ=|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$|=$\frac{2}{\sqrt{2}×\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
∴二面角C-AF-E的余弦值为$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题考查异面直线所成角的余弦值和二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．