Question

已知抛物线C的方程为x²=4y，直线y=2与抛物线C相交于M，N两点，点A，B在抛物线C上．
（Ⅰ）若∠BMN=∠AMN，求证：直线AB的斜率为

2

；
（Ⅱ）若直线AB的斜率为

2

，求证点N到直线MA，MB的距离相等．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AM的斜率为k，由∠BMN=∠AMN，所以直线BM的斜率为-k，可求得M(-2

2

，2)，N(2

2

，2)，则直线AM的方程为y=k(x+2

2

)-2，由此能够证明直线AB的斜率为

2

．
（Ⅱ）若直线AB的斜率为

2

，由x₁=4k_AM+2

2

，x₂=4k_BM+2

2

，得
k_AB=

y1-y2

x1-x2

=

x 2 1 4 - x 2 2 4

x1-x2

=

x1+x2

4

=

4(kAM+kBM)+4 2

4

=

2

，由此能求出点N到直线MA，MB的距离相等．

解答：解：（Ⅰ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AM的斜率为k，∵∠BMN=∠AMN，所以直线BM的斜率为-k，
可求得M(-2

2

，2)，N(2

2

，2)，则直线AM的方程为y=k(x+2

2

)-2，
代入x²=4y得x²-4kx-8

2

k-8=0，∵x_Ax₁=-8

2

k-8∴x1=4k+2

2

，
同理x₂=-4k+2

2

，k_AB=

y1-y2

x1-x2

=

x 2 1 4 - x 2 2 4

x1-x2

=

x1+x2

4

=

2

．（5分）
（Ⅱ）若直线AB的斜率为

2

，由（1）可得：x₁=4k_AM+2

2

，x₂=4k_BM+2

2

，
∴k_AB=

y1-y2

x1-x2

=

x 2 1 4 - x 2 2 4

x1-x2

=

x1+x2

4

=

4(kAM+kBM)+4 2

4

=

2

，
∴k_AM+k_BM=0，
∴∠BMN=∠AMN，
故点N到直线MA，MB的距离相等．（10分）

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与抛物线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．