Question

【题目】已知数列，满足：．

（1）若，求数列的通项公式；

（2）若，且．

① 记，求证：数列为等差数列；

② 若数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次，求首项应满足的条件．

Answer 1

【答案】（1）

（2）①根据等差数列的定义，证明相邻两项的差为定值来得到证明．从第二项起满足题意即可．

②当，数列任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次

【解析】

试题解：（1）当时，有

．

又也满足上式，所以数列的通项公式是． 4分

（2）①因为对任意的，有，所以，

，

所以，数列为等差数列． 8分

②设（其中为常数且，

所以，，

即数列均为以7为公差的等差数列． 10分

设．

（其中为中一个常数）

当时，对任意的，有； 12分

当时，．

（Ⅰ）若，则对任意的有，所以数列为递减数列；

（Ⅱ）若，则对任意的有，所以数列为递增数列．

综上所述，集合．

当时，数列中必有某数重复出现无数次；

当时，数列均为单调数列，任意一个数在这6个数列中最多出现一次，所以数列任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次． 18分