Question

【题目】已知点、、、（），都在函数（，）的图像上；

（1）若数列是等差数列，求证：数列是等比数列；

（2）设，函数的反函数为，若函数与函数的图像有公共点，求证：在直线上；

（3）设，（），过点、的直线与两坐标轴围成的三角形面积为，问：数列是否存在最大项？若存在，求出最大项的值，若不存在，请说明理由；

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）存在，.

【解析】

（1）结合指数函数性质，根据等比数列定义进行论证；

（2）先求反函数，再利用反证法证明结论；

（3）先根据点斜式得直线方程，再根据截距以及三角形面积公式求出，再利用数列单调性确定其最大值.

（1）设数列公差为

因为在函数上，所以

因此数列是等比数列；

（2）

假设不在直线上，所以

，即M不在上，与为函数与函数的图像有公共点矛盾，所以在直线上；

（3）因为，，所以、

令得，令得，

所以为单调递减数列，其最大项为