Question

3．如图，P是圆O外一点，PD为切线，割线PEF经过圆心O，若PF=12，PD=4$\sqrt{3}$，求证：△PDF是等腰三角形．

Answer 1

分析 连结DO，DE，证明OD⊥PD，求出DF，即可证明结论．

解答 证明：连结DO，DE
因为PD为切线，PEF为割线，所以PD²=PE•PF
又∵$PD=4\sqrt{3}，PF=12$，∴$PE=\frac{{P{D^2}}}{PF}=4$，
∴EF=PF-PE=8，EO=4，
∵PD为切线，D为切点，∴OD⊥PD，
在Rt△PDO中，OD=4，PO=PE+EO=8，∴∠DPO=30°，∠DOP=60°．
∵$OD=OF，∠EFD=\frac{1}{2}∠DOP={30^0}，DF=EFcos{30^0}=4\sqrt{3}$，
∴PD=DF，
∴△PDF是等腰三角形．

点评 本题考查切割线定理的运用，考查圆的切线的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．