【题目】已知函数的定义域为
,对任意实数
,都有
.
(1)若,
,且
,求
,
的值;
(2)若为常数,函数
是奇函数,
①验证函数满足题中的条件;
②若函数求函数
的零点个数.
【答案】(1) 解得,
;(2) ①见解析;② 当
时,函数
只有1零点;
当或
时,函数
有3零点;当
是,函数
有5零点.
【解析】试题分析:(1)由题意,取,得
,再取
,得
,
即函数在
内为奇函数,代入化简即可求解
的值.
(2)由函数是奇函数,得
,得出
的解析式,进而求解
.
再由,得
,令
,则
,作出图象,进而分类讨论,求得函数零点的个数.
试题解析:
(1)对题中条件取,得
.
再取,得
,则
,
即函数在
内为奇函数.
所以,
又.
解得,
.
(2)由函数是奇函数,得
,则
.
此时,满足函数
是奇函数,且
有意义.
①由,得
,则对任意实数
,
有
,
,
所以.
②由,得
,令
,则
.
作出图象
由图可知,当时,只有一个
,对应有3个零点;
当时,只有一个
,对应只有一个零点;
当时,
,此时
,
,
.
由
得在时,
,三个
分别对应一个零点,共3个.
在时,
,三个
分别对应1个,1个,3个零点,共5个.
综上所述,当时,函数
只有1零点;
当或
时,函数
有3零点;
当是,函数
有5零点.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】【湖南省2017届高三长郡中学、衡阳八中等十三校重点中学第一次联考数学(理)】
已知函数.
(1)当时,试求函数图像过点
的切线方程;
(2)当时,若关于
的方程
有唯一实数解,试求实数
的取值范围;
(3)若函数有两个极值点
,且不等式
恒成立,试求实数
的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,已知椭圆:
的离心率为
,以椭圆
的左顶点
为圆心作圆
:
,设圆
与椭圆
交于点
与点
.
(1)求椭圆的方程;
(2)求的最小值,并求此时圆
的方程;
(3)设点是椭圆
上异于
,
的任意一点,且直线
分别与
轴交于点
,
为坐标原点,求证:
为定值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某医药研究所开发了一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测,服药后每毫升血液中的含药量(微克)与时间
(小时)之间的关系近似满足如图所示的曲线.
(1)写出服药后与
之间的函数关系式;
(2)据进一步测定:每毫升血液中含药量不少于0.25微克时,治疗疾病有效.求服药一次治疗疾病的有效时间.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图所示是某企业2010年至2016年污水净化量(单位: 吨)的折线图.
注: 年份代码1-7分别对应年份2010-2016.
(1)由折线图看出,可用线性回归模型拟合和
的关系,请用相关系数加以说明;
(2)建立关于
的回归方程,预测
年该企业污水净化量;
(3)请用数据说明回归方程预报的效果.
附注: 参考数据:;
参考公式:相关系数,回归方程
中斜率和截距的最小;
二乘法估汁公式分别为;
反映回归效果的公式为:,其中
越接近于
,表示回归的效果越好.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数,在
处有最小值为0.
(1)求的值;
(2)设,
①求的最值及取得最值时
的取值;
②是否存在实数,使关于
的方程
在
上恰有一个实数解?若存在,求出实数
的取值范围;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】有一块扇形铁皮OAB,∠AOB=60°,OA=72cm,要剪下来一个扇环形ABCD,作圆台容器的侧面,并且在余下的扇形OCD内能剪下一块与其相切的圆形使它恰好作圆台容器的下底面(大底面).试求:
(1)AD应取多长?
(2)容器的容积为多大?
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