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已知O为坐标原点,圆x2+y2+x-6y+C=0与直线x+2y-3=0的两交点为P、Q,当C为何值时OP⊥OQ?

思路分析:设P(x1,y1)、Q(x2,y2).由OP⊥OQx1x2+y1y2=0.

由方程组解得x1、x2、y1、y2.代入上式即可求C.

解法一:如图.设P(x1,y1)、Q(x2,y2).

∵OP⊥OQ,

∴kOP·kOQ=-1.

∴x1x2+y2y2=0.                                                                 ①

由方程组消去x得到5y2-20y+12+C=0,

∴y1+y2=4,y1y2=.

∴x1x2=(3-2y1)(3-2y2)=9-6(y1+y2)+4y1y2.

∴x1x2+y1y2=5y1y2-6(y1+y2)+9=0,

即12+C-6×4+9=0,解得C=3.

解法二:∵OP⊥OQ,

∴O、P、Q三点共圆,PQ是直径.

故以PQ为直径的圆的圆心为(m,n),方程为(x-m)2+(y-n)2=m2+n2.

PQ为两圆的公共弦.两圆相减得PQ方程为(1+2m)x+(-6+2n)y+C=0,它与直线x+2y-3=0是同一直线,

,m=-,n=-.

∵圆心(m,n)在直线x+2y-3=0上,

∴--3=0.

∴C=3.


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