Question

设f（x）=x³-mx²-2x+5
（1）当m=

1

2

时，求f（x）的单调区间；
（2）若m=

1

2

且0≤x≤2时，f（x）＜k总成立，求实数k的取值范围；
（3）若f（x）在[0，1]上有极值点，求m的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）当m=

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2

时，求出函数的导数，利用导函数的符号，求解求f（x）的单调区间；
（2）若m=

1

2

，求出导函数的零点，判断零点是否在0≤x≤2内，求出函数f（x）的最大值，即可求出实数k的取值范围；
（3）若f（x）在[0，1]上有极值点，说明导数的区间内有两个不相等的实数根，列出不等式组即可求m的取值范围．

解答： 解：（1）f（x）=x³-

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x²-2x+5，
∴f′（x）=3x²-x-2，由 f′（x）＞0 得 x＜-

2

3

或 x＞1，
∴增区间为（-∞，-

2

3

），（1，+∞），减区间为（-

2

3

，1）． …（4分）
（2）f′（x）=3x²-2x-2=0，得x=-

2

3

（舍去），x=1．
又 f （0）=5，f （1）=

7

2

，f （2）=7，所以 f （x）|_max=7，得 k＞7．…（8分）
（3）f′（x）=3x²-2mx-2，其图象恒过定点（0，-2），
由此可知，3x²-2mx-2=0必有一正根和一负根，
只需要求正根在（0，1）上，
∴f′（0）•f′（1）＜0，∴m＜

1

2

． …（12分）

点评：本题考查函数与导数的综合应用，闭区间上的最值的求法，函数的极值以及单调区间的求法，考查转化思想以及计算能力．