Question

已知a，b∈[-2，2]，在此范围内任取数对（a，b），能使函数f（x）=x³-3x+a+b，有三个不同零点的概率是（　　）

• A、

  1

  4

• B、

  1

  2

• C、

  2

  3

• D、

  3

  4

Answer 1

考点：几何概型

专题：函数的性质及应用,概率与统计

分析：首先由题意求出a，b∈[-2，2]，在此范围内任取数对（a，b），能使函数f（x）=x³-3x+a+b，有三个不同零点的a，b满足的不等式组，明确所求属于几何概型的概率求法，利用几何概型公式解答即可．

解答： 解：由函数f（x）=x³-3x+a+b有三个不同的零点，
则函数f（x）有两个极值点，极小值小于0，极大值大于0；
由f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1）=0，解得x₁=1，x₂=-1，
所以函数f（x）的两个极值点，x∈（-∞，-1），f′（x）＞0，
x∈（-1，1），f′（x）＜0，
x∈（1，+∞），f′（x）＞0，
∴函数的极小值f（1）=a+b-2和极大值f（-1）=a+b+2．
因为函数f（x）=x³-3x+a+b有三个不同的零点，
所以

a+b-2＜0 a+b+2＞0

，
已知a，b∈[-2，2]，在此范围内任取数对（a，b），能使函数f（x）=x³-3x+a+b，有三个不同零点的a，b满足的条件为

a+b-2＜0 a+b+2＞0 -2≤a≤2 -2≤b≤2

，
此区域如图，
其面积为4×4-2×2=12，
根据几何概型概率公式得能使函数f（x）=x³-3x+a+b，有三个不同零点的概率为

12

16

=

3

4

；
故选D．

点评：本题考查了几何概型概率求法；关键是明确事件的集合的测度是用区域的长度，还是面积或者体积，然后利用几何概型概率公式解答．