Question

如果实数a，b满足条件：

a+b-2≥0 b-a-1≤0 a≤1

，则

a+2b

2a+b

的最大值是

 

．

Answer 1

考点：简单线性规划的应用,简单线性规划

专题：不等式的解法及应用

分析：先根据条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出可行域内的点与原点（0，0）连线的斜率，求出

b

a

的范围，利用函数的最值求解表达式的最大值即可．

解答： 解：先根据约束条件

a+b-2≥0 b-a-1≤0 a≤1

画出可行域，如图，

b

a

表示可行域内的点与原点（0，0）连线的斜率，设z的几何意义表示可行域内点P与原点O（0，0）连线的斜率，∵当连线OP过点B（

1

2

，

3

2

）时，

b

a

取最大值，最大值为3，连线OP过点A（1，1）时，

b

a

取最小值，最小值为1，

b

a

∈[1，3]．
∴

a+2b

2a+b

=

1+2 b a

2+ b a

=

4+2 b a -3

2+ b a

=2-

3

2+ b a

，∵

b

a

∈[1，3]．
∴

a+2b

2a+b

的最大值为：

7

5

．
故答案为：

7

5

．

点评：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，是中档题．