Question

已知函数f（x）=-2sin²x-2mcosx+1-2m（m∈R）的最小值为h（m）．
（1）求证：不论m为任何实数，函数f（x）的图象总经过定点；
（2）若h（m）=

1

2

，求m的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由题意得到f（x）=-2sin²x+1-2m（cosx+1），再根据三角函数性质，求得x=（2k+1）π，问题得以解决．
（2）由题意得f（x）=2cos²x-2mcosx-2m-1，令令t=cosx，则y=（t-

1

2

m）²-

1

2

m²-2m-1，进行分类讨论，求得m的值．

解答： 解：（1）f（x）=-2sin²x-2mcosx+1-2m=1=-2sin²x+1-2m（cosx+1）
当cosx=-1时，即x=（2k+1）π时，有sinx=0，此时f（x）=1
所以函数过定点（2kπ+π，0）
令1+cosx=0，得x=（2k+1）π，又f（（2k+1）π）=1，
所以 不论m为任何实数，函数f（x）的图象总经过定点（（2k+1）π，1）k∈z
（2）由f（x）=-2sin²x-2mcosx+1-2m=1=2cos²x-2mcosx-2m-1，
令t=cosx，则y=2t²-2mt-2m-1=2（t-

1

2

m）²-

1

2

m²-2m-1，t∈[-1，1]，
①若

1

2

m＜-1，即m＜-2，则当t=-1时，h（m）=1，不合题意．
②若-1≤

1

2

m≤1，即-2≤m≤2，则当t=

1

2

m时，h（m）=-

1

2

m²-2m-1，
得m=-1或m=-3（舍去），所以m=-1，
③若

1

2

m＞1，即m＞2，则当t=1时，h（m）=1-4m=

1

2

，得m=

1

8

（舍去），
综上可得，m的值为1．

点评：本题主要考查三角形函数之间的转化，以及函数过定点的问题，以及分类讨论的思想，属于中档题．