Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥底面A₁B₁C₁，∠BAC=90°，AB=AC=AA₁=1，D是棱CC₁的中点，P是AD的延长线与A₁C₁的延长线的交点．
（Ⅰ）求证：PB₁∥平面A₁BD；
（Ⅱ）求二面角A-A₁D-B的大小；
（Ⅲ）在直线B₁P上是否存在一点Q，使得DQ⊥平面A₁BD，若存在，求出Q点坐标，若不存在请说明理由．

Answer 1

分析：（I）以A₁B、A₁C、A₁A为x轴、y轴、z轴建立坐标系如图所示，可得A₁、B₁、C₁、B、P各点的坐标，从而算出向量

A1B

、

A1D

、

B1P

的坐标，利用垂直向量的数量积为零的方法解出平面BDA₁的一个法向量为

a

=（1，

1

2

，-1），计算出

a

•

B1P

=0，得到直线PB₁与平面BDA₁的法向量垂直，即得PB₁∥平面BDA₁；
（II）由（I）知平面BDA₁的一个法向量

a

=（1，

1

2

，-1），结合

b

=（1，0，0）为平面AA₁D的一个法向量，利用空间向量和夹角公式，即可算出二面角A-A₁D-B的大小；
（III）设Q的坐标为Q（λ，2-2λ，0），假设DQ⊥平面A₁BD，可得平面BDA₁的法向量

a

与

DQ

垂直，得

a

•

DQ

=0，建立关于λ的方程解出矛盾，从而得出向量

a

与

DQ

不可能垂直，即直线B₁P上不存在一点Q使得DQ⊥平面A₁BD．

解答：解：以A₁为原点，A₁B、A₁C、A₁A分别为x轴、y轴、z轴，建立坐标系如图所示
可得A₁（0，0，0），B₁（1，0，0），C₁（0，1，0），
B（1，0，1），P（0，2，0）
（I）在△PAA₁中，C₁D=

1

2

AA₁，则D（0，1，

1

2

）
∴

A1B

=（1，0，1），

A1D

=（0，1，

1

2

），

B1P

=（-1，2，0）
设平面BDA₁的一个法向量为

a

=（x，y，z）
则

a • A1B =x+z=0 a • A1D =y+ 1 2 z=0

，取z=-1，得

a

=（1，

1

2

，-1）
∵

a

•

B1P

=1×（-1）+

1

2

×2+（-1）×0=0
∴直线PB₁与平面BDA₁的法向量垂直，可得PB₁∥平面BDA₁；
（II）由（I）知平面BDA₁的一个法向量

a

=（1，

1

2

，-1）
又

b

=（1，0，0）为平面AA₁D的一个法向量
∴cos＜

a

，

b

＞=

a • b

|a| • |b|

=

2

3

，即二面角A-A₁D-B的平面角的余弦值为

2

3

因此，二面角A-A₁D-B的大小为arccos

2

3

；
（III）根据点Q在B₁P上，设Q的坐标为Q（λ，2-2λ，0）
∵D（0，1，

1

2

），∴

DQ

=（λ，1-2λ，-

1

2

）
若DQ⊥平面A₁BD，则平面BDA₁的法向量

a

=（1，

1

2

，-1）与

DQ

垂直
可得

a

•

DQ

=0，即λ×1+（1-2λ）×

1

2

+（-

1

2

）×（-1）=0，
解之得1=0矛盾
故向量

a

与

DQ

不可能垂直，即直线B₁P上不存在一点Q，使得DQ⊥平面A₁BD．

点评：本题在三棱柱中证明线面平行，求二面角的大小并探索线面垂直的问题．着重考查了利用空间坐标系研究平行、垂直的位置关系和线面垂直的证明等知识，属于中档题．